3.2 Геометрия - математическая основа геодезии и картографии

   В процессе изучения начал создания и развития математики обнаруживается, что геометрия является первичным инструментом для человека при решении задач землемерия, постройки жилища, храмов, вычисления объемов и т. д. Другими словами, развитие геометрии шло по пути – от практики к теоретическим построениям. Многие ученые считают, что основателем геометрии является древнегреческий математик Эвклид (III век до н.э.), который обобщил отдельные теоретические положения античной математики и представил их в известном многотомнике «Начала» (13 книг). В данных книгах Эвклид размещает определения, аксиомы, постулаты и предложения (1-я книга) [3]. Напомним читателю основные постулаты геометрии Эвклида (рис. 3.2–3.7).

   Постулат I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

 

 

Рисунок 3.2 – Геометрическая интерпретация первого постулата

 

 

   Постулат II. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.

 

 

Рисунок 3.3 – Геометрическая интерпретация второго постулата

 

   Постулат III. Изо всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.

 

 

Рисунок 3.4 – Геометрическая интерпретация третьего постулата

 

   Постулат IV. Все прямые углы равны между собой.

 

 

Рисунок 3.5 – Геометрическая интерпретация четвертого постулата

 

   Постулат V. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где угол меньше двух прямых.

 

 

Рисунок 3.6 – Геометрическая интерпретация пятого постулата

 

   Практика обучения студентов показала, что не лишним будет напомнить теорему Пифагора, которая сформулирована Эвклидом в конце первой книги «Начала».

   В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b, а длина гипотенузы – с выполнено соотношение:

 

 

Рисунок 3.7 – Иллюстрация к доказательству теоремы Пифагора

 

   В настоящее время существует около 400 вариантов доказательства теоремы Пифагора. В работе [4] приведены доказательства теоремы Пифагора различными методами, в частности, через подобные треугольники, методом площадей, доказательство Леонардо да Винчи, доказательство методом бесконечно малых (на основе дифференциальных уравнений) и т. д., что объясняет ее фундаментальность для геометрии и практическую значимость для других наук, в частности геодезии.

   В настоящем пособии не будем больше повторять учебный материал школьной программы по геометрии, а основополагающие постулаты и теорема Пифагора приведены здесь для того, чтобы читатели осознали действительное начало математики в ее системном представлении. Отметим только, что «Начала» Эвклида содержат сведения о планиметрии, стереометрии, арифметике и теории чисел. К геометрии здесь относятся планиметрия и стереометрия, сведения о которых лежат в основе знаний геодезистов. Дадим им определение.

   Планиметрия – это раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, которые можно изобразить в пределах одной плоскости, например, треугольники, окружности, параллелограммы и т. д.

   Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (точки, прямой и плоскости).

   Основным отличием стереометрии от планиметрии является то, что в стереометрии допускается скрещивание прямых.

   Авторы настоящего пособия считают, что в пространственно-временном континууме можно выделить I в. н.э., как начало формирования прикладного геометрического знания – геодезии.  Такое утверждение следует из изучения работ греческого математика и механика Герона Александрийского
(ок. 10 – ок. 75 в. н. э.). Именно он в своей работе «О диоптре» предлагает прибор «диоптр» для геодезических работ. Этот прибор представляет собой линейку с двумя смотровыми отверстиями, которую можно поворачивать в горизонтальной плоскости и при помощи, которой можно визировать углы. В этой же работе Герон излагает правила земельной съемки, основанные на использовании прямоугольных координат [5]. Кроме того, в данной работе показаны решения типовых геодезических задач: «Недосягаемое становится доступным», «Далеко ли разошлись корабли?», «Как высоко дерево?», «Расстояние до невидимой точки», «Площадь недоступного объекта». Всего Герон предложил решение 17 геодезических задач.

   В работе «Метрика» [6] Герон приводит формулу для вычисления площади треугольника S через длины его трех сторон a, b, c.

   Отметим на временной оси пространственно-временного континуума деятельность еще одного философа, математика, механика и физика, который внес огромный вклад в развитие геометрии. Конечно – это Рене Декарт (1596–1650 гг.), который в своей работе «Геометрия» [7] предлагает систему координат (рис. 3.8), что послужило развитию аналитической геометрии.

   Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором геометрические фигуры (точка, луч, отрезок, угол, прямоугольник, треугольник, ломаная линия и др.) и их свойства исследуются средствами алгебры.

   Приведем пример решения простейшей задачи аналитической геометрии. К простейшим задачам аналитической геометрии относятся две:

1) нахождения расстояния между двумя точками;

2) деления отрезка в заданном отношении.

 

Рисунок 3.9 – Иллюстрация к примеру

   Методы аналитической геометрии используются при решении многих геодезических задач, например, тех, которые выделил в своей работе [6] Герон.

   Аналитическую геометрию усовершенствовал выдающийся математик, механик, физик и астроном Леонардо Эйлер. Его заслуги в развитии науки приведены в работах [8, 9], в частности в геометрии Эйлеру принадлежит уточнение отдельных положений Эвклидовой геометрии, развитие аналитической и создание дифференциальной геометрии. Кроме того, Эйлер дал классификацию алгебраических кривых 3-го и 4-го порядков, а также поверхностей второго порядка. В 1732 году Эйлер вывел общее уравнение геодезических линий на поверхности.

   Геодезическими линиями на поверхности обычно называют линии кратчайшего расстояния между двумя точками поверхности.

   Понятие «геодезической линии» широко применяется при решении теоретических и практических задач геодезии, в которых точки земной поверхности проецируются на поверхность земного эллипсоида и соединяются геодезическими линиями. На поверхности земного эллипсоида геодезические линии обладают кручением и являются сложными кривыми. Математические методы позволяют перейти от расстояний и углов на земной поверхности к длинам дуг геодезических линий и углам между этими дугами на поверхности земного эллипсоида.

   Примеры геодезических линий на различных поверхностях приведены на рисунках 3.10–3.12. 

 

   Помимо введенного Эйлером понятия «геодезическая линия» важным вкладом в развитие математических основ геодезии является установление связи между Декартовой прямоугольной и полярной системами координат.

 

Рисунок 3.12 – Геодезическая линия на цилиндре

 

   В аналитической геометрии формула окружности и прямой будут иметь следующий вид.

 

Рисунок 3.13 – Иллюстрации точки в полярной системе координат

 

   Одной из часто встречающихся задач при дипломном проектировании или выполнении дипломных работ студентами является определение площади земельного участка произвольной формы. Покажем на примере один из методов определения площадей с использованием полярных координат.

 

Рисунок 3.14 – Геометрическая интерпретация площади R

 

 

   Цилиндрическая система координат является расширением полярной системы координат и широко используется в геодезии, в частности при топографических съемках, где необходимо визуализировать как контуры местности, так и ее рельеф.  Сферическую систему координат используют при решении задач спутниковой геодезии, в частности решения задач навигации и управления воздушными и космическими объектами. Цилиндрической системой координат получают путем добавления к полярной системе координат третьей координаты, обычно ее обозначают буквой z, которая задаёт высоту точки над плоскостью (см. рис. 3.16).

 

 

Рисунок 3.16 – Иллюстрация точки Р в цилиндрической системе координат

 

   Сферическая система координат строится на основе декартовой прямоугольной системы координат (рис. 3.17).

   Не будем выносить в данное пособие материал, связанный с пересчетом координат из одной системы в другую. Подробно такой пересчет можно найти в работе [11], а также в данной работе представлены сведения о других наиболее распространенных системах координат, таких как аффинная, барицентрические, биполярные, параболические, проективные и т. д.

   Для осознания читателем многообразия задач, решаемых в геодезии и астрономии методом координат, приведем таблицу, в которой поставлены в соответствие названия систем координат и их типы, и виды (табл. 3.1).

   Многообразие приведенных в таблице 3.1 координат связано с созданием и развитием теории поверхностей, начало которой положили Л. Эйлер и
Г. Монж. Здесь отметим, что Гаспар Монж (1746–1818 гг.) является основателем начертательной геометрии. Именно он предложил объемные фигуры представлять в трех плоскостях. Такой метод получил название эпюр Монжа.

   Эпюр (фр. epure – чертёж) – чертёж, на котором пространственная фигура изображена методом нескольких плоскостей. Обычно он даёт 3 вида: фронтальную, горизонтальную и профильную проекции (фасад, план, профиль). Чертёж проецируется на взаимно перпендикулярные, а затем развернутые на одну плоскость.

   Разработка Л. Эйлером и Г. Монж теории поверхностей, а затем ее развитие К. Гауссом привело к созданию дифференциальной геометрии и топологии. Более подробно с теорией поверхностей можно ознакомиться в работе [12]. Кроме того, созданию дифференциальной геометрии способствовала разработка Н. И. Лобачевским, а затем и Б. Риманом неевклидовых геометрий [13,14]. Данные геометрии отрицают пятый постулат геометрии Эвклида и связаны с кривизной поверхностей.

   Суть неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского заключается в том, что в геометрии Евклида он V постулат интерпретирует следующим образом
(рис. 3.18).

 

где q – некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может рассматриваться как абсолютная единица длины, подобно сферической геометрии, где за абсолютную единицу длины принимается радиус сферы.

   Под кривизной понимается собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от геометрических объектов, заданных определениями и постулатами Евклида (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.). Примеры поверхностей трех геометрий приведены на рисунке 3.19.

   Важным понятием в картографии является проекция. В данном пособии уже упоминался термин «проекция», связанный с проекцией Меркатора
(см. пп. 2.3.1).

 

Рисунок 3.19 – Геометрические объекты с различной

кривизной поверхностей

 

   По определению, проекцией называется изображение пространственной фигуры на плоскости. Меркатор спроецировал сферу на плоскость. Такая проекция имеет два свойства.

   Первое свойство проекции Меркатора – равноугольность выражается равенством масштабов по всем направлениям, т. е. а = b = m = n. Вследствие этого бесконечно малый кружок на поверхности Земли на карте в проекции Меркатора изобразится также бесконечно малым кружком.

   Второе свойство определило вид географических меридианов и параллелей проекции: они представляют собой два семейства взаимно перпендикулярных прямых линий.

   Кроме того, в настоящее время существует классификация картографических проекций по разным признакам. Например, по:

– характеру искажений (равноугольные или конформные проекции, равновеликие или эквивалентные проекции, равнопромежуточные или эквидистантные проекции, произвольные проекции);

– форме отображения координатных линий нормальной сетки (круговые, азимутальные, конические, цилиндрические, псевдоконические и псевдоцилиндрические);

– положению точки полюса в нормальной системе координат (полярные или нормальные, поперечные или трансверсионные, косые или наклонные);

– способу применения (сплошные, многополосные, многогранные, составные).

   Разумеется, каждую картографическую проекцию можно классифицировать с использованием каждого из вышеперечисленных критериев. Так, известная проекция Земли Меркатора является конформной (равноугольной) и поперечной (трансверсионной); проекция Гаусса – Крюгера – конформной поперечной цилиндрической, а при создании карты Гипербореи (рис. 2.16) Меркатор использовал азимутальную проекцию и т. д.

   Детально сведения о картографических проекциях табулированы и представлены в работе [12].

   Таким образом, с высокой степенью обобщения рассмотрены основы геометрии, используемые в геодезии и картографии. Следует заметить, что современные программные средства, в частности ArcGIS, поддерживают более
40 картографических проекций.

 

comments powered by HyperComments

Слайды

Новости

30.03.20

ВНИМАНИЕ!!! Профессор Метешкин К.А. не выдержал и сделал заказ знаменитой украинской песни автора Константина Беляева "Сидю в кукурузе"

 

 

30.03.20

ВНИМАНИЕ!!! Мария Леонидовна решила подбодрить преподавательскую публику в ее панических настроениях и просит поставить аж две композиции, одна из которых называется "Сумасшедшая Тоска" и вторая с молоденькими девочками, которые быстро и ритмично дрыгают ногами. Молодец Мария! Тебе удалось поднять настроение хотя бы у Гравиташки.

 

 

Приятного просмотра

 

28.03.20

ВНИМАНИЕ!!! Очевидно, одни доценты заходят на наш сайт в период карантина. Сергей Маркович попросил поставить песню кумира ХХ века Высоцкого В.С. КАНАТОХОДЕЦ, написанную им в 1971 году.

 

 

Приятного просмотра и прослушивания

Блог

27.01.20

   В предыдущем подразделе отмечалась роль Г. Монжа в создании начертательной геометрии, а именно она является основой для трехмерного моделирования объектов, которые создают некоторые студенты в процессе дипломного проектирования. Практика показала, что студенты затрудняются ответить на вопрос, какая из аксонометрических проекций использовалась при 3D-моделировании. Восполним этот пробел и в настоящем подразделе изложим суть построения трехмерных моделей на основе аксионометрических проекций, предварительно дадим определение термину «начертательная...

27.01.20

   Начнем изложение данного подраздела с народной мудрости: «Если ты все понял, значит, тебе не все рассказали».

   Предложенный в данном подразделе материал выходит за рамки существующих планов по специальности «Геодезия и землеустройство».  Вместе с тем, материал данного пособия претендует на некоторую новизну, так как в пп. 1.1 введен и обоснован новый термин «ноогеоматика», определение которого расширяет изучаемую предметную область, и на наш взгляд, обусловливает рассмотрение новых методов и...

27.01.20

   В процессе изучения начал создания и развития математики обнаруживается, что геометрия является первичным инструментом для человека при решении задач землемерия, постройки жилища, храмов, вычисления объемов и т. д. Другими словами, развитие геометрии шло по пути – от практики к теоретическим построениям. Многие ученые считают, что основателем геометрии является древнегреческий математик Эвклид (III век до н.э.), который обобщил отдельные теоретические положения античной математики и представил их в известном многотомнике «Начала» (13 книг). В...