3.4 Фрактальная геометрия - научная основа изучения ноосферных процессов и явлений

   Начнем изложение данного подраздела с народной мудрости: «Если ты все понял, значит, тебе не все рассказали».

   Предложенный в данном подразделе материал выходит за рамки существующих планов по специальности «Геодезия и землеустройство».  Вместе с тем, материал данного пособия претендует на некоторую новизну, так как в пп. 1.1 введен и обоснован новый термин «ноогеоматика», определение которого расширяет изучаемую предметную область, и на наш взгляд, обусловливает рассмотрение новых методов и формальных представлений современной математики, в частности – фрактальной и финслеровой геометрии. Итак, дадим определение термину «фрактал».

   Фрактал(лат. Fractus – дроблёный, сломанный, разбитый) – множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность.

   Перед тем как излагать основные сведения о фрактальной геометрии напомним читателю, что она является логическим продолжением развития эвклидовой, затем не эвклидовой геометрии (см. пп. 3.2, 3.3), а также результатом деятельности диалектических законов, изложенных в пп. 2.1.

   Рассматривая и подвергая анализу основные постулаты эвклидовой геометрии, сначала Н. И. Лобачевский и К. Гаусс, а затем и Б. Риман подвергли сомнению V-й постулат геометрии Эвклида о параллельности прямых. Заслугой Н. И. Лобачевского, К. Гаусса и Б. Римана в развитии геометрии являлось то, что они изучали свойства геометрических фигур (прямой, треугольника, параллелограмма и др.) спроецированных на тела, имеющие некоторую кривизну – сферу (Н. И. Лобачевский), цилиндр (К. Гаусс), катеноид (Б. Риман), что привело к созданию неевклидовой геометрии.

   Следующим шагом в развитии геометрии, на наш взгляд, было создание фрактальной геометрии, основателем которой по праву считается американский математик Б. Мандельброт. Он посмотрел на Землю и процессы на ней протекающие в предельно-детализированном виде. Б. Мандельброт искал формы материи, которые не поддаются моделированию при помощи известных геометрических методов и представлений эвклидовой и не эвклидовой геометрии. В своей работе «Фрактальная геометрия природы» [15] Б. Мандельброт показывает, что такие объекты и явления, как облака, горы, морской прибой, разряды молний, различные виды турбулентностей и др. невозможно моделировать на основе упомянутых геометрий.

   Решая задачи моделирования вышеупомянутых объектов и процессов Б. Мандельброт опирается на известные к тому времени математические конструкции и формализмы основателя теории множеств Г. Кантора, в частности, исследует свойства множества, получившего название «Пыль Кантора». Так назвал Б. Мандельброт фрактал, который получается из процедуры деления отрезка интервалом [0,1] на три части и выбрасыванием из него средней части (рис. 3.23).

 

 

Рисунок 3.23 – Иллюстрация процедуры получения «Пыли Кантора»

 

   Кроме того, Б. Мандельброт изучает непрерывные кривые, которые не поддаются дифференцированию, т. е. такие, к которым невозможно провести касательную. Исследованием такой кривой занимался шведский математик Хельге фон Кох в 1904 году, и которая названа его именем – кривой Коха. Пошаговая процедура построения фигур кривой Коха показана на рисунке 3.24.

 

 

Рисунок 3.24 – Иллюстрация процедур построения кривой Коха

 

   Суть процедуры построения кривой Коха заключается в следующем. По аналогии с процедурой получения «Пыли Кантора» разобьём единичный отрезок на три равные части и заменим средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента (процедура 2 на рис. 3.24). В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д. Кривая Коха обладает следующими свойствами:

– нигде не дифференцируема и не спрямляема;

– имеет бесконечную длину;

– не имеет самопересечений;

– имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна  поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

   Приведем определение размерности Хаусдорфа [16].

   Размерность Хаусдорфа – естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой – единице, размерность гладкой поверхности – двум и размерность множества ненулевого объёма – трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

   Фрактальная размерность – один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальную размерность n-мерного множества можно определить с помощью формулы:

где  – минимальное число n-мерных «шаров» радиуса , необходимых для покрытия множества. Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение.

   Значения фрактальных размерностей отдельных фигур сведены в таблицу 3.2. Более полный список фрактальных размерностей по Ф. Хаусдорфу представлен в работе [16], к которым относятся геометрические, алгебраические и стохастические фракталы.

   Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

– обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину;

– является самоподобным или приближённо самоподобным;

– обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Таблица 3.2 – Размерности отдельных геометрических фракталов

   Рассматривая фрактальную геометрию с точки зрения ее применения в геодезии, нас в большей степени интересуют геометрические фракталы. Напомним, что многие объекты природы, а по Вернадскому В. И. ноосферы [17], обладают свойствами фракталов, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки и т. д. Кроме того, и человек как неотъемлемая часть ноосферы имеет фрактальные свойства, так как его жизненно важные органы – системы кровообращения, легкие, печень, головной мозг имеют также фрактальную структуру. Отсюда можно сделать важный вывод, что ноосфера имеет фрактальные свойства! Очевидно, что и наша планета Земля в целом представляет собой фрактал, так как она имеет не идеальную форму в виде эллипсоида, а представляет собой геоид, фрактальную размерность которого еще предстоит определить. Фрактальная размерность геоида может быть показателем кривизны Земли и быть полезной для построения глобальной геодезической сети, решающая ряд важных задач высшей геодезии, например, уточнение фундаментальных геодезических постоянных, изучение гравитационного поля Земли, определение движений полюсов Земли, задание единой для всей Земли системы геоцентрических пространственных прямоугольных или геодезических координат и т. д.

   Кроме того, применение фрактальных представлений и формализмов может быть использовано при корректировке данных о государственных геодезических, плановых и локальных сетей сгущения, так как один из методов построения геодезических сетей, а именно метод триангуляции, подобен методу построения кривых Коха, Пеано, Гильберта и треугольника Серпинского и других геометрических фракталов.

   С точки зрения геоматики и построения геоинформационных систем, моделирование процессов и явлений планетарного масштаба, фрактальные представления дают возможность строить динамические и реалистичные 3D-модели. В своем выступлении [15] Б. Мандельброт приводит примеры использования фракталов в кинематографии, где такие явления как огонь (взрыв), волнения моря (рис. 3.25 а, б) и другие создают на основе математических моделей фрактальной геометрии.

Рисунок 3.25 – Фрактальное представление явлений природы

 

   Кроме того, структуры фракталов используются современными архитекторами и строителями. Отдельные образцы архитектуры зданий показаны на рисунках 3.26, 3.27 и 3.28.

 

 

Рисунок 3.26 – Многофункциональный комплекс Federation Square,

Мельбурн, Австралия

 

Рисунок 3.27 – Центр исполнительских видов искусства, Тайбей

 

   Создатель фрактальной геометрии Б. Мандельброт отмечает свойство фракталов, которое заключается в том, что построение реалистичных моделей природных процессов и явлений не требует большого количества машинной памяти, так как они строятся на основе математических формул рекурсивным методом, что немаловажно при построении геоинформационных систем.

 

Рисунок 3.28  Бутик Liverpool Insurgentes, Мексика

   Таким образом, выше приведена лишь небольшая часть сведений о теории фракталов. Желающим детально ознакомиться с фрактальной геометрией следует обратиться к первоисточнику [14], а также прослушать публичную лекцию Б. Мандельброта [15] и изучить учебное пособие [18].

 

comments powered by HyperComments

Слайды

Новости

25.06.20

ВНИМАНИЕ!!! Второй день защищаются бакалавры. Есть и интересные работы, связанные с использованием БПЛА, а также отчуждением земль на ЖД транспорте.

 

   

 

 

 

24.06.20

ВНИМАНИЕ!!! Сегодня ГЭК продложает свою работу. Защищают свои работы бакалавры. Защищают на отлично!!!

 

 

 

 

19.06.20

 

ВНИМАНИЕ!!! Кафедра резко повышает качество научно-педагогических работников. Сегодня степень магистра защищают Доброхотова Ольга, Маслий Люба, Поморцева Елена. На защиту их сопровождает заведующий кафедры Нестеренко С.Г. Отметим - коронавирус не дремлет!? Форс-мажорные условия - с одной страны коронавирус, с другой диплом МАГИСТРА. Все напряжены, даже Радзинская Ю.Б.

 

                     

Блог

27.01.20

   В предыдущем подразделе отмечалась роль Г. Монжа в создании начертательной геометрии, а именно она является основой для трехмерного моделирования объектов, которые создают некоторые студенты в процессе дипломного проектирования. Практика показала, что студенты затрудняются ответить на вопрос, какая из аксонометрических проекций использовалась при 3D-моделировании. Восполним этот пробел и в настоящем подразделе изложим суть построения трехмерных моделей на основе аксионометрических проекций, предварительно дадим определение термину «начертательная...

27.01.20

   Начнем изложение данного подраздела с народной мудрости: «Если ты все понял, значит, тебе не все рассказали».

   Предложенный в данном подразделе материал выходит за рамки существующих планов по специальности «Геодезия и землеустройство».  Вместе с тем, материал данного пособия претендует на некоторую новизну, так как в пп. 1.1 введен и обоснован новый термин «ноогеоматика», определение которого расширяет изучаемую предметную область, и на наш взгляд, обусловливает рассмотрение новых методов и...

27.01.20

   В процессе изучения начал создания и развития математики обнаруживается, что геометрия является первичным инструментом для человека при решении задач землемерия, постройки жилища, храмов, вычисления объемов и т. д. Другими словами, развитие геометрии шло по пути – от практики к теоретическим построениям. Многие ученые считают, что основателем геометрии является древнегреческий математик Эвклид (III век до н.э.), который обобщил отдельные теоретические положения античной математики и представил их в известном многотомнике «Начала» (13 книг). В...